问答区

这是 Langlangs group 的问答部分收集,持续更新。

$p$-adic Hodge 的动机问题

  1. 学Fontaine的理论的最大困难是周期环实在太多了,记号记不住;
  2. 而且为啥那么定义呢,感觉怪怪的,有什么几何背景或者动机吗?从Witt vector开始,我就觉得是神来之笔,能看懂构造推理,但是不太理解操作,我也不清楚是怎么考虑的。
  3. 为啥要研究p进表示?$\ell$进表示还不够嘛?p进表示除了多很多,还有把几何的找出来,找出来他和l进有啥不同?

Answer: 一个很好的笔记是 https://yufanluo.com/wp-content/uploads/2021/01/启发讨论p进Hodge.pdf

  • 其中一个是,我们认为说数域上的椭圆曲线,或者abelian variety 的性质可以由它的tate module,或者说galois表示决定,当我们取定一个p以后. 比如是否在一个素数l有good reduction. 经典的结论(serre tate)证明说,当l不等于p,那么有good reduction 当且仅当Q_l的galois群的表示是semi-stable的。自然的,good reduxtion 对所有素数都有。我们自然想问,在p呢?Grothendieck证明当且仅当表示是cystalline
  • 另外,关于复的de rham 上同调的类比,可以了解Grothendieck关于一般域上de rham上同调的定义。就是用de rham complex的hypercohomology。然后计算可以用spectral sequence。这样可以得到filtration,这个也是构造de rham period ring的其中一个想法
  • https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X09000195 we reveal a hidden geometric interpretation of the rings in Fontaine-Theory as functions on the “unit disc with coordinate p.” This interpretation is inspired by the equal characteristic counterparts of these rings. And finally we hope that this interpretation might serve as an Ariadne’s thread for those who want to learn Fontaine-Theory and experience all its rings as a kind of maze.

monodromy的几何意义,weight-monoromy conjecture 的动机,几何意义,数域和函数域的类比,分岐的几何意义等

  1. Grothendieck l adic monodromy theorem的monodromy是啥意思,几何上怎么理解?
  2. 为啥absolute galois group G_K的主要困难在于野分歧群P_K,几何上怎么回事?
  3. 为啥表示到处都会出现twist?几何上怎么回事?
  4. 为啥absolute galois group G_K的主要困难在于野分歧群P_K,几何上怎么回事?
  5. 应该存在某些几何图像帮助理解或者记忆它为啥是这样的?它为啥是对的?

Answer: 一个很好的笔记是 https://yufanluo.com/wp-content/uploads/2021/01/Galois群-1.pdf

stacks 的动机问题

为啥不能弄到 $GL_3$?

$R\simeq T$?

  • 有个很重要的事实 就是 Hecke 代数可以写成一些eigensystem的积,那么局部化了之后就是eigensystem over \bar \rho 很自然地,根据泛性质就存在了一个映射R—>T;然后 容易严重它的满的 所以本质上TW方法就是证明它也是单的;patching 干了什么呢?它提供了一个东西,T在上面有个自然的作用。我们让R通过满射R—>T也作用在上面。Patching argument告诉我们R的作用是自由的 从而得到R——>T也是单的;关键就是那个东西怎么构造呢?其实用到了Hida thy的想法。先提升level, 再去不动点或者余不动点回归level。具体是写成一堆东西的极限。这个Toby Gee在AWS 2013他的最后两讲很形象地画了不少图 .

如何从完全不懂到看懂法语文献???

  • ???

如何理解 Tate twists

https://math.stackexchange.com/questions/57750/what-is-the-intuition-behind-the-concept-of-tate-twists/57757#57757 和 Deligne 在 Weil I 的解释

特征零和特征 $p$世界的 transfer principle?

  1. 这种类比真是让人震惊,如何理解Fontaine-Wintenberger isomorphism?
  2. 所以区别在于P_K,那么当K为Q_p以及为F_p((t))时候,为啥后者P_K就简单了,哪里简单了?
  3. 为什么它是对的?

Answer:

素数和扭结

  • 系列科普:

1 Mazur’s knotty dictionary http://www.neverendingbooks.org/mazurs-dictionary

2What is the knot associated to a prime? http://www.neverendingbooks.org/what-is-the-knot-associated-to-a-prime

3 Who dreamed up the primes=knots analogy? http://www.neverendingbooks.org/who-dreamed-up-the-primesknots-analogy

4 the birthday of the primes=knots analogy http://www.neverendingbooks.org/the-birthday-of-the-primesknots-analogy

局部类域论的证明

  1. 历史上,局部类域论首先是从整体类域论推出的,可以参考 Hasse 30年代初的论文(德语)。很重要的是,在上同调证明成为教科书里的标准证明前,几乎每本书的证明都不太一样,所以我的总结是基于基本思路的。
  2. 历史上第一个独立的证明是基于 central simple algebras 和 Brauer group of a local field。可以参考Schmidt,Hasse,Chevalley 30年代初各自的论文(多为德语)。
  3. 上同调证明出现在五六十年代,现在的标准证明之一。关于这个证明,请参考https://bookstore.ams.org/mmono-240,他们的证明简化了原始证明,但是非常非常简略。
  4. Lubin-Tate theory, 现在的标准证明之二。3 和 4 如此不同,就我所知,至今没有人能解释这两者的联系。我的直觉是,这两者发生在不同的topoi之中。
  5. Hazewinkel’s proof: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870875901565 被埋没的证明,Iwasawa为此写过一本小册子,有中文版,冯克勤译,暂无英文版。Iwasawa也写过一个关于Lubin-Tate的小册子,和上一本同名,也叫”局部类域论”,有英文版。
  6. (只能证明char p情形)Using Artin–Schreier–Witt theory to prove the char p case Yukiyosi Kawada and Ichiro Satake, Class formations. II, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 7 (1956), 353–389. 只有Fesenko记得的证明,虽然只能证明char p情形,但很简单。参考https://doi.org/10.1007/s40879-018-0245-x
  7. local Tate duality: 一般是从local CFT推出local Tate duality,但是后者可以被独立证明,所以可以反过来。参考 Herr, L. Une approche nouvelle de la dualité locale de Tate. Math Ann 320, 307–337 (2001). https://doi.org/10.1007/PL00004476 这个证明可以算作Galois representations over local fields的应用。
  8. Neukirch’s mechanism Neukirch, J. Neubegründung der Klassenkörpertheorie. Math Z 186, 557–574 (1984). https://doi.org/10.1007/BF01162780 https://doi.org/10.1007/978-3-642-82465-4 https://doi.org/10.1007/978-3-540-37663-7 Neukirch, J. Micro primes. Math. Ann. 298, 629–666 (1994). https://doi.org/10.1007/BF01459755 Neukirch最后一篇论文,还没来得及发展自己的理论就去世了。现在除了Fesenko也几乎没人在乎了。
  9. Fargues’ geometrization program https://arxiv.org/abs/1705.01526
  10. Using isocrystals: 参考R. Crew https://arxiv.org/abs/1710.05707 这个证明显然和 2 有很多联系。Crew基于这篇文章还写过lecture notes, 可以参考https://people.clas.ufl.edu/rcrew/files/LCFT.pdf
  11. K-theoretic and higher categorical approach: D. Clausen https://arxiv.org/abs/1703.07842
  12. Fesenko作为这个领域为数不多的专家,写过一篇总结https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/232.pdf

为什么 Langlands 只关心曲线而不关心高维簇?

  • comment on why is it that we only consider curves and not higher dimensional varieties. The point is that while function fields of curves are very similar to number fields, the fields of functions on higher dimensional varieties have a very different structure. For example, if X is a smooth surface, then the completions of the field of rational functions on X are labeled by pairs: a point x of X and a germ of a curve passing through x. The corresponding complete field is isomorphic to the field of formal power series in two variables. At the moment no one knows how to formulate an analogue of the Langlands correspondence for the field of functions on an algebraic variety of dimension greater than one, and finding such a formulation is a very important open problem. There is an analogue of the abelian class field theory , i.e. higher class field theory, but not much is known beyond that.
  • 甚至几乎没有人猜想高维non-abelian Artin map长什么样,以及高维non-abelian existence theorem如何陈述。
  • 这两种方法会相互促进的。表示论显然不能解决所有问题,比如Shafarevich conjecture,即使global Langlands被完全证明了,我们也很难直接了解if commutator subgroup of the absolute Galois group of Q is free,而我们如果能证明global non-abelian Artin map is isomorphism,这个问题会简化很多。

函数域版本的 Fontaine- Mazur conjecture?

  • 我觉得global function field更像局部域,不像整体的,然后再想想局部langlands program的几何化,有这样的平行线并不奇怪,需要只是用“正确”的语言“正确”地描述出来罢了,它们之间的估计是真的有非常直接的关系,而不仅仅是平行
  • 关于F. M conj. 的函数域类比,你在数域的情形,一个p进表示G_{Q,S}(S是有限个素数的集合)是来自几何当且仅当它在p处是potentially semi stable。而在函数域的情形,据我所知,现在这个阶段我们可以做到的仅仅是,我们可以加一个非常暴力非常强的条件,假设它是 potentially unramified的,(这样我们就不用讨论复杂的分歧群,分歧全挂了),这样的p 进表示pi_1(X)如果是不可约,up to twist,一定是来自几何的。这种表示当然仅仅是那些全部的几何表示的极少的一部分!没有人知道如何定义类似数域情形的“potentially semistable”的定义,使得它来自几何iff它是potentially semially semistable!我们必须指出,算术基本群的p进表示的和数域情形还是有一点不同的,前者的“几何表示“其实很多!
  • 很困难,很遥远,是长期的目标。可以瞎编,一旦完成,scholze等他们完成 LLC的几何化,数域的全部f-M conj.就是可以靠近的了

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