questions and answers

这是 Langlangs group 的问答部分收集,持续更新。 $p$-adic Hodge 的动机问题 学Fontaine的理论的最大困难是周期环实在太多了,记号记不住;而且为啥那么定义呢,感觉怪怪的,有什么几何背景或者动机吗?从Witt vector开始,我就觉得是神来之笔,能看懂构造推理,但是不太理解操作,我也不清楚是怎么考虑的。为啥要研究p进表示?$\ell$进表示还不够嘛?p进表示除了多很多,还有把几何的找出来,找出来他和l进有啥不同? Answer: 一个很好的笔记是 https://yufanluo.com/wp-content/uploads/2021/01/启发讨论p进Hodge.pdf 其中一个是,我们认为说数域上的椭圆曲线,或者abelian variety 的性质可以由它的tate module,或者说galois表示决定,当我们取定一个p以后. 比如是否在一个素数l有good reduction. 经典的结论(serre tate)证明说,当l不等于p,那么有good reduction 当且仅当Q_l的galois群的表示是semi-stable的。自然的,good reduxtion 对所有素数都有。我们自然想问,在p呢?Grothendieck证明当且仅当表示是cystalline另外,关于复的de rham 上同调的类比,可以了解Grothendieck关于一般域上de rham上同调的定义。就是用de rham complex的hypercohomology。然后计算可以用spectral sequence。这样可以得到filtration,这个也是构造de…